Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形， ，側面底面， ， ， ， 分別為， 的中點，點在線段上．

（1）求證： 平面；

（2）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）在平行四邊形中，由條件可得，進而可得。由側面底面，得底面，故得，所以可證得平面．（Ⅱ）先證明平面平面，由面面平行的性質可得平面．（Ⅲ）建立空間直角坐標系，通過求出平面的法向量，根據線面角的向量公式可得。

試題解析：

（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，

∵， ， ，

∴，

∴，

∵， 分別為， 的中點，

∴，

∴，

∵側面底面，且，

∴底面，

又底面，

∴，

又， 平面， 平面，

∴平面．

（Ⅱ）證明：∵為的中點， 為的中點，

∴，

又平面， 平面，

∴平面，

同理平面，

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，

∴平面．

（Ⅲ）解：由底面， ，可得， ， 兩兩垂直，

建立如圖空間直角坐標系，

則， ， ， ， ， ，

所以， ， ，

設，則，

∴， ，

易得平面的法向量，

設平面的法向量為，則：

由，得，

令，得，

∵直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，

∴，即，

∴，

解得或（舍去），

故．