Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，點在橢圓上，直線過橢圓的右焦點且與橢圓相交于兩點.

（1）求的方程；

（2）在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出定點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點，使得為定值

【解析】試題分析：（1）由題意的離心率公式求得，將代入橢圓方程，即可求得和，從而可得橢圓方程；（2）在軸上假設存在定點，使得為定值，若直線的斜率存在，設的科率為，由代入橢圓方程，運用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標表示，結合恒成立思想，即可得到定點和定值；檢驗直線的斜率不存在時，也成立.

試題解析：（1）由， ，解出 可得橢圓的方程為.

（2）由直線過橢圓右焦點，

當直線不與軸重合時，可設

代入橢圓方程，并整理得

設， ，則，

設，則

為定值，

則，解得

故存在定點，使得為定值.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據(jù)上述判斷設方程或 ；③找關系：根據(jù)已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.