Question

13．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項，并歸納猜想它的通項公式．
（1）a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{{2-a}_{n}}$；
（2）對一切的n∈N^*，a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1．

Answer 1

分析 分別由已知數(shù)列遞推式求出數(shù)列的前4項，然后例歸納猜測可得兩個數(shù)列的通項公式．

解答 解：（1）∵a₁=a，a_n+1=$\frac{1}{{2-a}_{n}}$，
∴${a}_{2}=\frac{1}{2-{a}_{1}}=\frac{1}{2-a}$，${a}_{3}=\frac{1}{2-{a}_{2}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}=\frac{2-a}{3-2a}$，${a}_{4}=\frac{1}{2-{a}_{3}}=\frac{1}{2-\frac{2-a}{3-2a}}=\frac{3-2a}{4-3a}$，
由數(shù)列的前4項歸納${a}_{n}=\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$；
（2）由a_n＞0，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，得$2\sqrt{{a}_{1}}={a}_{1}+1$，解得a₁=1，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}={a}_{2}+1$，解得a₂=3，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}={a}_{3}+1$，解得a₃=5，
$2\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}}={a}_{4}+1$，解得a₄=7，
由數(shù)列的前4項歸納猜測a_n=2n-1．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的部分項歸納猜測數(shù)列的通項公式，是中檔題．