Question

【題目】已知函數(shù)（， =2.718………），

（I） 當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）當(dāng)時，不等式對任意恒成立，

求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）符合題意的實數(shù)的最大值為.

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，即求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，導(dǎo)函數(shù)大于零求增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于零求減區(qū)間；（2）這是不等式恒成立求參的問題，轉(zhuǎn)化為， 對任意恒成立，再求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最值即可.

（1）

由可知，

令得 或

令得

即 此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）當(dāng)時，不等式 即

令， 對任意恒成立

又

當(dāng)時， ，所以在上遞增，且最小值為

（i）當(dāng)，即時， 對任意恒成立

在上遞增， 當(dāng)時， 滿足題意； （ii）當(dāng)，即時，

由上可得存在唯一的實數(shù)，使得，可得當(dāng)時， ， 在上遞減，此時不符合題意； 綜上得，當(dāng)時，滿足題意，即符合題意的實數(shù)的最大值為.