Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），過作的角平分線交橢圓于另一點(diǎn).證明：直線與坐標(biāo)軸平行.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，求解即可；

（2）因?yàn)?/span>平分，欲證與坐標(biāo)軸平行，即證明直線的方程為或，只需證，斜率都存在，且滿足即可.將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.

（1）解：，將代入橢圓方程，得，

解得，故橢圓的方程為.

（2）證明：∵平分

欲證與坐標(biāo)軸平行，即證明直線的方程為或

只需證，斜率都存在，且滿足即可.

當(dāng)或斜率不存在時(shí)，即點(diǎn)或點(diǎn)為，

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與橢圓相切，不滿足題意，故，斜率都存在.

設(shè)直線：，，，

聯(lián)立，

，∴，

由韋達(dá)定理得，，

得證.