Question

【題目】如圖1，在中， ， 分別為， 的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.

（1）求證：；

（2）求直線和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可證；

（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用向量的方法求直線和平面所成角的正弦值.

（1）連接.圖1中，，， 分別為， 的中點(diǎn)，，

即，又為的中點(diǎn)，.

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，又平面，

.

（2）取中點(diǎn)，連接，則.

由（1）可知平面，平面.

以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

，，.

，

.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，則，.

設(shè)直線和平面所成的角為，則

，

所以直線和平面所成角的正弦值為.