Question

18．在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，O為△ABC內(nèi)心，則$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=4．

Answer 1

分析 分別以BC、BA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，設(shè)出O的坐標，由向量共線求出O的坐標，得到$\overrightarrow{AO}$的坐標，然后由向量數(shù)量積求得答案．

解答 解：如圖，

分別以BC、BA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，
則B（0，0），C（4，0），A（0，3），
設(shè)O（m，m），
設(shè)$\overrightarrow{AO}$方向上的單位向量為$\overrightarrow{e}$，
則$\overrightarrow{e}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}（0，-3）+\frac{1}{5}（4，3）$=（$\frac{4}{5}，-\frac{8}{5}$），
又$\overrightarrow{AO}=（m，m-3）$，∴$\frac{m-3}{m}=-2$，即m=1．
∴$\overrightarrow{AO}=（1，-2）$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=（1，-2）•（4，0）=4．
故答案為：4．

點評 本題考查向量知識，考查平面向量基本定理的運用，考查學生的計算能力，關(guān)鍵是運用坐標運用算求解，屬于中檔題．