Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數在的單調性.（不需要證明）；

（2）探究是否存在實數，使得函數為奇函數？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，解不等式.

Answer 1

【答案】（1）增函數；（2）存在實數滿足條件，且當時，是奇函數；（3）。

【解析】

（1）根據函數解析式，利用作差法明確函數的單調性；

（2）根據奇函數的定義，我們令f（x）+f（﹣x）=0，由此構造關于a的方程，解方程可得a的值；

（3）根據（2）中條件可得函數的解析式，根據指數函數的性質及二次函數的性質及恒成立的實際意義，可得實數t的取值范圍．

（1）任取x1，x2∈R且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=﹣=，

∵y=3x在R上是增函數，且x1＜x2，

﹣＜0，+1＞0，+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函數f（x）在R上是增函數．

（2）f（x）=a﹣是奇函數，則f（﹣x）=﹣f（x），

即a﹣=﹣（a﹣），

2a=+=+=1，

故a=，

∴當a=時，f（x）是奇函數．

（3）在（2）的條件下，f（x）是奇函數，

則由f（t2+1）+f（2t﹣4）≤0，

可得：f（t2+1）≤﹣f（2t﹣4）=f（4﹣2t），

又f（x）在R上是增函數，則得t2+1≤4﹣2t，﹣3≤t≤1，

故原不等式的解集為：{t|﹣3≤t≤1}．