Question

【題目】如圖所示，在棱長為2的正方體中， 分別為和的中點(diǎn).

(1)求證： 平面；

(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) =

【解析】試題分析：（1）分別以所在的直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，面的一個(gè)法向量是，由即可證得；
（2）設(shè)點(diǎn)求解平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量利用平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關(guān)系建立方程求解即可．

試題解析：

(1)證明：如圖所示，分別以所在的直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得， ， ， ， ， ， ， ，

∵平面的一個(gè)法向量是，

又∵，

∴，

∴，而平面，

∴平面.

(2)解：設(shè)點(diǎn)，

平面的一個(gè)法向量為，

則，∵， ，

∴，取，則， ，∴，

平面的一個(gè)法向量，

依題意知， 或，

∴，即，解得或 (舍)，

∵，

∴在棱上存在一點(diǎn)，當(dāng)的長為時(shí)，二面角的大小為.