Question

5．已知函數(shù)y=sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$．
（1）求出函數(shù)的最小正周期；
（2）寫出在（-2π，2π）上的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）首先，化簡函數(shù)解析式，然后，根據(jù)周期公式求解周期即可；
（2）直接根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：y=sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）．
（1）T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{π}{4}$+2kπ，
∴-$\frac{3π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{π}{2}$+4kπ，
∴該函數(shù)遞增區(qū)間為：[-$\frac{3π}{2}$+4kπ，$\frac{π}{2}$+4kπ]，（k∈Z），
∵x∈（-2π，2π），
∴該函數(shù)遞增區(qū)間為：[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．