Question

3．若二項(xiàng)式（$\frac{\sqrt{5}}{5}$x²+$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為m，則${∫}_{1}^{m}$（x²-2x）dx=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得m，代入${∫}_{1}^{m}$（x²-2x）dx，寫出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后分別代入積分上限和積分下限后作差得答案．

解答 解：由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}•（\frac{\sqrt{5}}{5}{x}^{2}）^{6-r}•（\frac{1}{x}）^{r}$=$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{6-r}•{C}_{6}^{r}•{x}^{12-3r}$．
令12-3r=0，得r=4．
∴m=$（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}•{C}_{6}^{4}$=3．
則${∫}_{1}^{m}$（x²-2x）dx=${∫}_{1}^{3}（{x}^{2}-2x）dx$=$（\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}）{|}_{1}^{3}$=$（\frac{1}{3}×{3}^{3}-{3}^{2}）-（\frac{1}{3}-1）=\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查定積分的求法，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．