Question

【題目】已知直三棱柱的底面是邊長為6的等邊三角形，是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，平面平面，求：

(1)側(cè)棱長；

(2)直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量垂直對應(yīng)向量數(shù)量積為零列式解得豎坐標(biāo)，即側(cè)棱長；(2)利用方程組解得平面一個(gè)法向量，由向量數(shù)量積得直線方向向量與平面一個(gè)法向量的夾角，最后根據(jù)直線與平面所成的角與向量夾角互余得結(jié)果.

詳解：

（1）如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)側(cè)棱長為，則，.

∵ 平面，

∴ .

故要使平面平面，只需即可，就是當(dāng)時(shí)，

則平面，

∴平面平面.

∴ ，即.

故側(cè)棱長為時(shí)，平面平面.

（2）設(shè)平面法向量為，

則，∴ .

，∴ .

取.

又，

∴ .

故直線與平面所成的角的正弦值為.