Question

12．已知a²ⁿ=$\sqrt{2}$+1，則$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$的值為$2\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 利用立方差公式把$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$等價轉(zhuǎn)化為a²ⁿ+a^-2n-1，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵a²ⁿ=$\sqrt{2}$+1，
∴$\frac{{a}^{3n}+{a}^{-3n}}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$=$\frac{（{a}^{n}+{a}^{-n}）（{a}^{2n}+{a}^{-2n}-1）}{{a}^{n}+{a}^{-n}}$
=a²ⁿ+a^-2n-1
=$\sqrt{2}+1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$-1
=$\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1-1$
=$2\sqrt{2}-1$．
故答案為：$2\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查化數(shù)式的值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意分數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和運算法則的合理運用．