Question

8．如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x-2）²+y²=3，那么x²+y²的最大值是7+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，滿足（x-2）²+y²=3，的點(diǎn)P（x，y）在以C（2，0）為圓心，半徑為$\sqrt{3}$的圓上，而x²+y²=|OP|²．因此當(dāng)P、O、C三點(diǎn)共線時(shí)，|OP|達(dá)到最大值或最小值．由此結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出x²+y²的最大值．

解答 解：滿足（x-2）²+y²=3，的點(diǎn)P（x，y）在以C（2，0）為圓心，半徑為$\sqrt{3}$的圓上，
而x²+y²=|OP|²，
∵當(dāng)P、O、C三點(diǎn)共線時(shí)，|OP|達(dá)到最大值或最小值，
∴當(dāng)圓C上的點(diǎn)P在OC延長線上時(shí)，|OP|的最大值為|OC|+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$，
得到x²+y²的最大值為（2+$\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$．
故答案為：7+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出滿足二次方程的實(shí)數(shù)x、y，求x²+y²的最大值，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和二元函數(shù)最值的求法等知識(shí)，屬于中檔題．