Question

【題目】求平面直角坐標(biāo)系中格點(diǎn)凸五邊形(即每個(gè)頂點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的凸五邊形)的周長(zhǎng)的最小值。

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)此凸五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)依次為，坐標(biāo)為，并用復(fù)數(shù)表示頂點(diǎn)為虛數(shù)單位。

記，則

1.的實(shí)部與虛部都是整數(shù)，且（從而）；

2.；

3.凸五邊形的周長(zhǎng)為。

由凸性知，任意兩個(gè)不具有同一方向。由1知，若某個(gè)，滿足，則只能是，

中模為1的個(gè)數(shù)至多只有4個(gè)：。

1.若中1的個(gè)數(shù)恰為4，由2知，余下一個(gè)為0，與1矛盾。

2.若中1的個(gè)數(shù)恰為3，剩下的兩個(gè)都為（模為的至多只有4個(gè)，），則他們不會(huì)滿足2，于是，此時(shí)，周長(zhǎng)不小于。

3.若中恰有2個(gè)1，剩下的3個(gè)都為，如圖所示，此時(shí)周長(zhǎng)為。

4.其他情況，周長(zhǎng)不小于。

綜上可知，格點(diǎn)凸五邊形周長(zhǎng)的最小值為。