Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，分別為中點(diǎn)，且，.

（1）平面；

（2）若為線段上一點(diǎn)，且平面，求的值；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連結(jié)，利用勾股定理逆定理可證明，又易證，可證明平面（2）連接，根據(jù)，平面可得，進(jìn)而，利用為中點(diǎn)可得結(jié)論（3）取的中點(diǎn)連結(jié)，由（1）知，且，，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，計(jì)算其夾角即可.

（1）證明：連結(jié)

，為的中點(diǎn)

，且，

又，是中點(diǎn)，，

由已知，

，且是平面內(nèi)兩條相交直線

平面.

（2）連接，由已知底面為直角梯形，，

則四邊形為平行四邊形

所以

因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，

所以

所以

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)

所以，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn).

所以.

（3）取的中點(diǎn)連結(jié)，由（1）知，且，，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>

所以，，

，

由于平面，所以平面的法向量

設(shè)平面的法向量，則有

即

令，則，，即

由題知二面角為銳二面角

所以二面角的大小為.