Question

已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，；又若是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足，其前項和為，.

(1)分別求數(shù)列，的通項公式，；

(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求的表達式，并求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1)  ， ；(2) ，.

【解析】

試題分析：(1)首先設(shè)出公差和公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程組解方程組，求得公差和公比，寫出各自的通項公式；(2)因為取偶數(shù)和奇數(shù)時，數(shù)列的項數(shù)會有變化，所以對分取偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進行討論，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，求出的表達式，根據(jù)前后兩項的變化確定的單調(diào)性，求得每種情況下的最小值，比較一下，取兩個最小值中的較小者.

試題解析：(1)設(shè)數(shù)列的公差是，的公比為，

由已知得，解得，所以；                  2分

又，解得或(舍去)，所以；                  .4分

(2) 當為偶數(shù)時，，

當為奇數(shù)時.   .10分

當為偶數(shù)時，，所以先減后增，

當時，，所以；

當時，，所以；

所以當為偶數(shù)時，最小值是.                    12分

當為奇數(shù)時，，所以先減后增，

當時，，所以，

當時，，所以，

所以當為奇數(shù)時，最小值是.

比較一下這兩種情況下的的最小值，可知的最小值是.         .14分

考點：1、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式；2、數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用；3、數(shù)列與求函數(shù)最值的綜合運用；4、數(shù)列的函數(shù)特性.