Question

【題目】對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若同時滿足：

（Ⅰ）若存在閉區(qū)間，使得任取，都有（是常數(shù)）；

（Ⅱ）對于內(nèi)任意，當，時總有恒成立，則稱函數(shù)為“平底型”函數(shù).

（1）判斷函數(shù)和是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；

（2）設是（1）中的“平底型”函數(shù)，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和滿足的條件，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是“平底型”函數(shù)，不是“平底型”函數(shù)；理由見解析；（2）；

（3）且.

【解析】

（1）將函數(shù)與分別表示為分段函數(shù)，結合題中定義對這兩個函數(shù)是否為“平底型”函數(shù)進行判斷；

（2）由（1）知，，由題意得出，利用絕對值三角不等式求出的最小值，然后分、、三種情況來解不等式，即可得出的取值范圍；

（3）假設函數(shù)，是“平底型”函數(shù)，則該函數(shù)的解析式需滿足“平底型”函數(shù)的兩個條件，化簡函數(shù)解析式，檢驗“平底型”函數(shù)的兩個條件同時具備的、值是否存在.

（1），.

對于函數(shù)，當時，，

當時，；當時，.

所以，函數(shù)為“平底型”函數(shù).

對于函數(shù)，當時，；當時，.

但區(qū)間不是閉區(qū)間，所以，函數(shù)不是“平底型”函數(shù)；

（2）由（1）知，，

由于不等式對一切恒成立，則.

由絕對值三角不等式得，則有.

①當時，由，得，解得，此時，；

②當時，恒成立，此時，；

③當時，由，得，解得，此時，.

綜上所述，的取值范圍是；

（3）.

①當時，

（i）若，則，該函數(shù)為“平底型”函數(shù)；

（ii）若，則該函數(shù)不是“平底型”函數(shù)；

②當時，若時，則，當時，，該函數(shù)不是“平底型”函數(shù)；

③當時，則，

（i）若，則該函數(shù)不是“平底型”函數(shù)；

（ii）若，該函數(shù)不是“平底型”函數(shù)；

（iii）若，則，則，顯然，該函數(shù)不是“平底型”函數(shù).

綜上所述，當且時，函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).