Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，在直線上存在點，使三角形為正三角形，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由離心率得，再把已知點的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合可解得，得橢圓方程；

（2）設(shè)直線方程為，與聯(lián)立方程組，消去，設(shè)，，由韋達(dá)定理得.設(shè)線段的中點為，得直線方程，求出點坐標(biāo)（此結(jié)論對也適用），是等邊三角形等價于，由此可把用表示，設(shè)換元后，可利用基本不等式求得最值．

（1）設(shè)，則，，所以，，

由點在橢圓上得，

，，所以橢圓的方程為.

（2）顯然，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

與聯(lián)立方程組，消去，并化簡得.

設(shè)，，則，.

設(shè)線段的中點為，則直線：，令，

又，得點的坐標(biāo)為，顯然當(dāng)時也符合，

所以.

又因為，

由三角形為正三角形得，

所以兩邊平方可得

，得.

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，所以的最大值為.