Question

【題目】如圖甲所示， 是梯形的高， ， ， ，現(xiàn)將梯形沿折起如圖乙所示的四棱錐，使得，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn).

（1）證明： 和不可能垂直；

（2）當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析; （2）.

【解析】試題分析：由于折疊后，經(jīng)過計(jì)算知，這樣兩兩垂直，因此以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）否定性命題，可假設(shè)，同時(shí)設(shè)（），利用向量垂直計(jì)算出，如果滿足說明存在，如果不滿足說明不存在；

（2）由得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出平面的法向量，則向量與夾角的余弦的絕對(duì)值等于直線與平面所成角的正弦值．

解析：如圖甲所示，因?yàn)?/span>是梯形的高，，所以,因?yàn)?/span>，，可得，,如圖乙所示，， ，，所以有，所以,而，，所以平面,又，所以、、兩兩垂直．故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，,

（1）設(shè)其中，所以 ，，假設(shè)和垂直，則，有，解得，這與矛盾，假設(shè)不成立，所以和不可能垂直.

（2）因?yàn)?/span>，所以 ,設(shè)平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)?/span>，，所以，，即,取,而，所以,所以與平面所成角的正弦值為.