Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數）

（1）求的單調區(qū)間；

（2）已知關于的方程有三個實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區(qū)間為和，無單調遞減區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）求出函數的定義域和導數，利用導數可求出函數的單調區(qū)間；

（2）由題意可知，關于的方程在時有三個根，令，利用導數分析函數的單調性與極值，利用數形結合思想，結合內層函數與外層函數的零點，對實數的取值進行分類討論，分析方程的實根個數，從而可得出實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，，

所以，函數的單調遞增區(qū)間為和，無單調遞減區(qū)間；

（2）由，得，得.

令，則，令，得，列表如下：

		極小值

如下圖所示，當時，方程在時有兩根，當或時，方程在時只有一根.

作出函數與函數的圖象如下圖所示：

①當時，直線與函數圖象交點的橫坐標為，

此時方程在時只有一根，不合乎題意；

②當時，直線與函數圖象有兩個交點，橫坐標分別為、，且，，

方程在時只有一根，方程在時只有一根，共有兩根，不合乎題意；

③當時，直線與函數圖象交點的橫坐標為，

方程只有一根，不合乎題意；

④當時，直線與函數圖象有兩個交點，橫坐標分別為、，且，，

方程在時有兩根，方程在時只有一根，共有三根，合乎題意；

⑤當時，直線與函數圖象交點的橫坐標為，，

方程在時有一根，方程在時也只有一根，共兩根，不合乎題意；

⑥當時，直線與函數圖象交點的橫坐標為，且，

此時，方程在時只有一根，不合乎題意.

綜上所述，實數的取值范圍是.