Question

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn) 與上頂點(diǎn)的距離為．

(Ⅰ)求橢圓的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅱ)點(diǎn)在橢圓上，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，若為等邊三角形，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)先由題意得到，求出，進(jìn)而可得出橢圓方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(Ⅱ)先設(shè)，先分析當(dāng)點(diǎn)為右頂點(diǎn)時，不滿足題意，得到；再設(shè)線段中點(diǎn)為，得到，根據(jù)，為正三角形，建立等量關(guān)系，進(jìn)而可求出結(jié)果.

(Ⅰ)依題意，有.所以

所以橢圓方程為

所以，

焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為

(Ⅱ)設(shè)，則，且

若點(diǎn)為右頂點(diǎn)，則點(diǎn)為上（或下）頂點(diǎn)，，△不是等邊三角形，不合題意，所以.

設(shè)線段中點(diǎn)為，所以

因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)橹本�的斜率

所以直線的斜率

又直線的方程為

令，得到

因?yàn)?/span>,所以

因?yàn)?/span>為正三角形，

所以，即

化簡，得到，解得（舍）

即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.