Question

4．若不等式mx²-4x+3m+1＞0對(duì)正實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由參數(shù)分離可得m＞$\frac{4x-1}{{x}^{2}+3}$對(duì)x＞0恒成立．令f（x）=$\frac{4x-1}{{x}^{2}+3}$（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極大值，也為最大值，令m大于最大值即可．

解答 解：不等式mx²-4x+3m+1＞0對(duì)正實(shí)數(shù)x恒成立，
即為m＞$\frac{4x-1}{{x}^{2}+3}$對(duì)x＞0恒成立．
令f（x）=$\frac{4x-1}{{x}^{2}+3}$（x＞0），
f′（x）=$\frac{-2（2{x}^{2}-x-6）}{（{x}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{-2（2x+3）（x-2）}{（{x}^{2}+3）^{2}}$，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有f（x）在x=2處取得極大值，且為最大值1．
即有m＞1．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，注意運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．