Question

11．已知點(diǎn)A、B為單位圓O上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為單位圓0所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$不共線．
（1）在△0AB中，點(diǎn)P在AB上，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，若$\overrightarrow{AP}$=r$\overrightarrow{OB}$+s$\overrightarrow{OA}$，求r+s的值；
（2）如圖，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$（m為常數(shù)），若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{AP}$，根據(jù)平面向量的基本定理求出r，s；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$列出方程解出m．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$，∵$\overrightarrow{AP}$=r$\overrightarrow{OB}$+s$\overrightarrow{OA}$，∴r=$\frac{2}{3}$，s=-$\frac{2}{3}$．∴r+s=0．
（2）以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則O（0，0），A（1，0），
設(shè)B（cosθ，sinθ），則P（cosθ-1，sinθ）．
∴$\overrightarrow{OP}$=（cosθ-1，sinθ），$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（cosθ，sinθ）．
∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ-1=m+cosθ}\\{sinθ=sinθ}\end{array}\right.$，解得m=-1．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的基本定理，平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．