Question

【題目】對于兩個定義域相同的函數(shù)、，若存在實數(shù)、使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)、”生成的.

（1）和生成一個偶函數(shù)，求的值；

（2）若由，（且）生成，求的取值范圍；

（3）試利用“基函數(shù)，”生成一個函數(shù)，使滿足下列條件：①是偶函數(shù)；②有最小值1，請求出函數(shù)的解析式并進一步研究該函數(shù)的單調(diào)性（無需證明）.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3），在遞減，在遞增

【解析】

（1）由列方程，根據(jù)為偶函數(shù)求得的關(guān)系式，進而求得的值.

（2）由列方程組，化簡后求得的關(guān)系式，利用導數(shù)求得的取值范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)，并證得其奇偶性和單調(diào)性.

（1）由為偶函數(shù)可知，所以.

（2）由得，所以，由于，所以可化簡得，所以.構(gòu)造函數(shù)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)在處，有極大值，在處有極小值.所以的取值范圍是.

（3）構(gòu)造函數(shù)，，所以為偶函數(shù).由于，所以有最小值符合題意.在遞減，在遞增.

另補證明：由于為偶函數(shù)，只需求得上的單調(diào)性.構(gòu)造函數(shù)，，由于時，，故，所以函數(shù)在上遞增.根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，函數(shù)在上遞增.根據(jù)為偶函數(shù)可知，函數(shù)在遞減.