Question

【題目】已知四棱錐中，平面平面ABCD，且，E為PA的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面PBC；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面．

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，

由已知得為的中點(diǎn)，，，

又，，，，

四邊形為平行四邊形，

，又平面，平面，

平面．

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，

因?yàn)?/span>，

所以，又平面平面ABCD，所以平面ABCD，

所以，由已知得，

以OD，OB，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，故，

所以.

設(shè)平面EBD的法向量為，則，

又，

所以，取，即.

又平面BDC的法向量為， ，，，

所以.

又二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.