Question

【題目】函數(shù)（a為常數(shù)，且）在處取得極值．

（1）求實數(shù)a的值，并求的單調區(qū)間；

（2）關于x的方程在上恰有1個實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）求證：當時，．

Answer 1

【答案】（1），的單調遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是．（2）．（3）見解析

【解析】

（1）首先寫出函數(shù)的定義域，之后求函數(shù)的導函數(shù)，利用條件，得到等式，解出，代入導函數(shù)解析式，令，，求得函數(shù)的單調增、減區(qū)間；

（2）將的解析式代入方程，化簡得，令，利用導數(shù)研究其單調性，結合題意，得到不等式組，求得結果；

（3）結合（1），得到，進一步得到成立，對依次取值，累加得到結果.

（1），，由題意得，，

得，

當時，，

令，得，

令，得，

∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，

函數(shù)的單調遞減區(qū)間是．

（2）關于x的方程，

化簡為，

令，

，

令，解得或1，

令，得，

函數(shù)在上單調遞增，

關于x的方程在上恰有1個實數(shù)根，

則只需

得．

（3）由（1）知，當時，，即，

當時，令，則成立，

即成立

將n依次取1，2，3，4，5，…………，

可得，

，

……

，

，

累加求和得：，

即當時，成立．