Question

14．關(guān)于x的方程2^2x-m2^x+4=0（x＜0）有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 令t=2^x，則原方程化為t²-mt+4=0（0＜t＜2），分離參數(shù)得到m=t+$\frac{4}{t}$，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在（0，2）上的單調(diào)性，即可求出m的取值范圍

解答 解：令t=2^x，
∵x＜0，
∴1＜t＜2，
則原方程化為t²-mt+4=0（0＜t＜2），
∴m=t+$\frac{4}{t}$，
設(shè)f（t）=t+$\frac{4}{t}$，
∴f′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}}$，
當(dāng)f′（t）＞0，解得t＞2或t＜-2，
當(dāng)f′（t）＜0，解得-2＜t＜2，
∵0＜t＜2，
∴函數(shù)f（t）在（0，2）上單調(diào)遞減，
∴f（2）＜f（t）＜f（0），
∴4＜f（t）＜+∞，
∴4＜m＜+∞，
故m的取值范圍為（4，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，分離參數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．