Question

6．已知函數f（x）=|2-$\frac{1}{x}$|
（1）求函數f（x）在[$\frac{1}{4}$，3]上的最大值
（2）是否存在實數m使得函數f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]，如果存在，求出實數m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）討論當$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2}$＜x≤3時，去掉絕對值，運用單調性即可得到最大值；
（2）通過分類研究，由函數的定義域，得到函數的值域，結合已知條件，求出實數m的取值范圍，得到本題結論．

解答 解：（1）當$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{x}$-2遞減，f（$\frac{1}{4}$）取得最大，且為2；
$\frac{1}{2}$＜x≤3時，f（x）=2-$\frac{1}{x}$遞增，即有f（3）最大，且為$\frac{5}{3}$．
綜上可得f（x）的最大值為2；
（2）由a＜b，ma＜mb知m（a-b）＜0，m＞0，
又∵ma≥0，∴a＞0
①當0＜a＜b≤$\frac{1}{2}$時，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-2=mb}\\{\frac{1}-2=ma}\end{array}\right.$得$\frac{1}{a}$-$\frac{1}$=m（b-a），$\frac{1}{a}$=mb，
∴$\frac{1}{a}$-2=$\frac{1}{a}$，a無解；
②當a≤$\frac{1}{2}$≤b時，
即有ma=0與m＞0，a＞0矛盾；
③當$\frac{1}{2}$≤a＜b時，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{a}=ma}\\{2-\frac{1}=mb}\end{array}\right.$，
即2-$\frac{1}{x}$=mx（x≥$\frac{1}{2}$）有兩個不同的實數解
由2-$\frac{1}{x}$=mx 得：mx²-2x+1=0．
要使得方程有兩個不等的實根，令g（x）=mx²-2x+1，
∴函數g（x）應滿足 $\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（\frac{1}{2}）＞0}\\{\frac{1}{m}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4-4m＞0}\\{\frac{1}{4}m-1+1＞0}\\{m＜2}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜1．
綜上可得，存在實數m∈（0，1），
使得函數f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]．

點評 本題考查了函數的最值的求法，注意運用單調性，還考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．