Question

已知橢圓()的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．過(guò)點(diǎn)M（2,0）的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍；

（3）若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，證明：直線恒過(guò)一定點(diǎn).

 

Answer 1

（1）.（2）.（3）直線過(guò)定點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）由已知得,得.

（2）設(shè)：，與橢圓的方程聯(lián)立,消去得

.由△＞0得.

設(shè),則.

將

表示成為

由，求得范圍是.

（3）由對(duì)稱性可知N，定點(diǎn)在軸上.

在直線方程AN：中，令得:

,得證.

試題解析：（1）易知，得,故.

故方程為.（3分）

（2）設(shè)：，與橢圓的方程聯(lián)立,消去得

.由△＞0得.

設(shè),則.

∴

=

，∴，

故所求范圍是.（8分）

（3）由對(duì)稱性可知N，定點(diǎn)在軸上.

直線AN：，令得:

,

∴直線過(guò)定點(diǎn).（13分）

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.