Question

【題目】已知直線l與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，M(2，y0)(y0≠0)為弦AB的中點，過M作AB的垂線交x軸于點P

（1）求點P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)弦AB最長時，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由中點坐標(biāo)即可得相關(guān)等式，求出AB的垂線，求其與軸的交點即可；

（2）利用（1）中結(jié)論，求弦長的最值，求得當(dāng)弦長最大時直線的方程即可.

（1）設(shè)直線方程為

聯(lián)立拋物線方程，

可得：

當(dāng)時，

設(shè)

故

因為M(2，y0)為弦AB的中點

故，整理得：①

又點M(2，y0)在直線AB上，故②

故過M與AB垂直的直線方程為：

令，解得

用①-②可得：

因為，故，則

即可得，

故與AB垂直的直線與軸的交點為.

（2）由弦長公式可得：

又因為解得

由①可知，代入上式得

故當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，弦長取得最大值；

此時直線方程為：

整理即為：或.

即弦長最大時，直線方程為：或.