Question

【題目】已知傾斜角為的直線過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，.

（1）求的坐標(biāo)；

（2）若直線與兩平行直線，相交于、兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；

（3）記集合直線經(jīng)過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的面積為，，針對的不同取值，討論集合中的元素個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）或23；（3）答案不唯一，見解析

【解析】

(1)先求出直線的方程,再根據(jù)方程設(shè)出的坐標(biāo),利用以及在第一象限,可解得;

(2)解方程組得的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離可解得;

(3)設(shè)出直線的截距式方程,代入的坐標(biāo)并根據(jù)面積公式可得,再分2種情況去絕對值,利用判別式討論一元二次方程的根的個(gè)數(shù)可得.

(1)因?yàn)閮A斜角為的直線過點(diǎn),

所以由點(diǎn)斜式得,即,

因?yàn)橹本�過點(diǎn),所以設(shè),

所以,

因?yàn)?/span>,

所以,化簡得,解得或,

因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限,所以,

所以,,

所以.

(2)聯(lián)立, 解得 ,所以,

聯(lián)立,解得,所以,

因?yàn)?/span>,所以,

化簡得,

解得或.

(3)因?yàn)?/span>,所以可設(shè)直線的截距式方程為,

因?yàn)橹本�經(jīng)過點(diǎn),所以,

所以,

因?yàn)橹本�與坐標(biāo)軸圍成的面積為,

所以即,

所以或,

當(dāng)時(shí),,整理得,

因?yàn)?/span>恒成立,所以一元二次方程恒有兩個(gè)非零實(shí)根,

當(dāng)時(shí),,整理得,

當(dāng),即時(shí), 無解,

當(dāng),即時(shí), 有且只有一個(gè)非零實(shí)根,

當(dāng),即時(shí), 有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根,

所以,當(dāng) 時(shí),直線有兩條,集合有兩個(gè)元素,

當(dāng)時(shí),直線有三條, 集合有三個(gè)元素,

當(dāng)時(shí),直線有四條, 集合有四個(gè)元素.