Question

【題目】如圖是一矩形濱河公園，其中長(zhǎng)為百米，長(zhǎng)為百米，的中點(diǎn)為便民服務(wù)中心.根據(jù)居民實(shí)際需求，現(xiàn)規(guī)劃建造三條步行通道、及，要求點(diǎn)、分別在公園邊界、上，且.

（1）設(shè).①求步道總長(zhǎng)度關(guān)于的函數(shù)解析式；②求函數(shù)的定義域.

（2）為使建造成本最低，需步行通道總長(zhǎng)最短，試求步行通道總長(zhǎng)度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）①.，②；（2）百米.

【解析】

（1）①根據(jù)，，得到，然后分別在中，用余弦函數(shù)的定義得到，在中，用正弦函數(shù)的定義得到，在中，用勾股定理得到，然后相加即可，②根據(jù)，，點(diǎn)、分別在公園邊界、上，則有求解.

（2）由（1）的結(jié)論，.令，轉(zhuǎn)化為，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性求解.

（1）①在矩形中，因?yàn)?/span>，，所以.

因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以.

在中，，

.

在中，

，.

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以.

②因?yàn)?/span>，，

所以即

解得，所以，

所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

（2）.

令，

則，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以.

因?yàn)?/span>在上為減函數(shù)，

所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，

故步行通道總長(zhǎng)度的最小值為百米.