Question

20．已知b＞a＞$\frac{1}{2}$，且a²+b+k=a，b²+a+k=b，求k的范圍．

Answer 1

分析 把a²+b+k=a，b²+a+k=b，兩式相減得到a+b=2，求出a的范圍，再把b=2-a代入a²+b+k=a，得到關(guān)于k=-a²+2a-2=-（a-1）²-1的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出k的取值范圍．

解答 解：∵b＞a＞$\frac{1}{2}$，a²+b+k=a，b²+a+k=b，
∴a²-b²+b-a=a-b，
∴a+b=2，即b=2-a，
∴2-a＞$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$，
∵a²+b+k=a
∴a²+2-a+k=a，
∴k=-a²+2a-2=-（a-1）²-1，
∴函數(shù)k在（$\frac{1}{2}$，1）上為增函數(shù)，在（1，$\frac{3}{2}$）上為減函數(shù)，
當(dāng)a=1時，k有最大值，即為-1，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，或a=$\frac{3}{2}$時，k＞-$\frac{5}{4}$，
故k的取值范圍為（-$\frac{5}{4}$，-1]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出a的取值范圍，屬于中檔題．