Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且。

（1）證明：，并求的通項(xiàng)公式；

（2）構(gòu)造數(shù)列求證：無論給定多么大的正整數(shù)，都必定存在一個(gè)，使.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由及，得。由，及，得。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：，即 .①

（i）當(dāng)時(shí)，由，，知①成立。

（ii）假設(shè)時(shí)，①成立，即，，有，約去得.移項(xiàng)并代入得

.②則 。

約去得.約去得，

移項(xiàng)并代入得.②由式②、③知，當(dāng)時(shí)，①成立，綜上得證式①成立。

合并得，這就證明了，且求出了通項(xiàng)。

（2）把代入，對(duì)有

。

因?yàn)?/span> ，

所以，對(duì)于給定的正整數(shù)，存在一個(gè)，使 。

說明：第（1）問用公式可得 ，

但需，才能推出，

此解法特點(diǎn)是“證明，并求的通項(xiàng)公式”同時(shí)進(jìn)行。

第（2）問的一個(gè)背景是調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，證明不是唯一的。