Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.

（1）求證：；

（2）在線段上,是否存在一點(diǎn),使得二面角的大小為，如果存在,求與平面所成角的正弦值；如果不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）在線段上,存在一點(diǎn),使得二面角的大小為，且與平面所成角正弦值為

【解析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于此得出；

（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐標(biāo)，則即為與平面所成角的正弦值.

（1）∵，，∴，∴

∵平面，∴，∴平面，平面，∴；

（2）以為原點(diǎn)，以過平行于的直線為軸，所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，，

，

設(shè)平面的法向量，則，即

則，又平面的法向量為，

∴

解得：或（舍），，

平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則

.