Question

18．已知函數(shù)$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-1$．
（1）求f（x）的周期．
（2）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，求f（x）的最大值、最小值及對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)公式化為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．即可求解周期．
（2）根據(jù)范圍得出$\frac{π}{6}$$≤2x+\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$，利用單調(diào)性求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-1$．
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π
即T=π
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$
∴$\frac{π}{6}$$≤2x+\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2
最大值2，2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，此時$x=\frac{π}{6}$，
最小值-1，2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$  此時$x=\frac{π}{2}$

點評 本題簡單的考察了三角函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性，周期性，熟練化為一個角的三角函數(shù)形式即可．