Question

【題目】設(shè)橢圓，定義橢圓的“相關(guān)圓”的方程為，若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的一個端點(diǎn)和其兩個焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.

（1）求橢圓的方程和“相關(guān)圓”的方程；

（2）若直線與圓相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

①求證：；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）①證明見解析； ②

【解析】

（1）由拋物線焦點(diǎn)為及橢圓短軸的一個端點(diǎn)和其兩個焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，即可求得，從而可得到本題答案；

（2）①分直線l的斜率存在和不存在兩種情況考慮，求出的值，即可得到本題結(jié)論；②算出直線斜率不存在時的值，以及斜率存在時的最大值，通過比較大小，即可得到本題答案.

（1）易知拋物線焦點(diǎn)為，

又由的一個短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，

可得，

橢圓的方程為，

相關(guān)圓的方程為.

（2）①（i）斜率不存在時，可得的方程為，

聯(lián)立，

即或

，

；

（ii）斜率存在時，可設(shè)的方程為，，聯(lián)立，

，

由圓與相切可得，

，

由（i）（ii）知，恒成立.

②斜率不存在時，由①可得，

斜率存在時，由①可得

，

令，則，

，

（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）

.