Question

【題目】在三棱錐中，底面，，是線段上一點(diǎn)，且.三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球表面上，過(guò)點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，根據(jù)球的性質(zhì)，確定球心位置，要使過(guò)點(diǎn)作球的截面圓的面積最小，只需截面與垂直，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，即可求解.

將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，

且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球，

記三角形的中心為，設(shè)球的半徑為，，

則球心到平面的距離為，即，

連接，則，∴.

在中，取的中點(diǎn)為，連接，

則，，

所以.在中，，

由題意得到當(dāng)截面與直線垂直時(shí)，截面面積最小，

設(shè)此時(shí)截面圓的半徑為，

則，

所以最小截面圓的面積為，

當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大為，

所以，，

球的表面積為.

故選:C.