Question

【題目】如圖，已知點F（1，0）為拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上．

（1）求p的值及拋物線的準線方程 ；

（2）求證：直線OA與直線BC的傾斜角互補；

（3）當xA∈（1，2）時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）p＝2，準線方程為x＝﹣1 ；（2）見解析；（3）最大值為2．

【解析】

（1）求得拋物線的焦點，由題意可得，可得拋物線方程和準線方程；

（2）設過的直線方程為，，，，，，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡可得證明，檢驗直線的斜率不存在，也成立；

（3）求得的范圍和的坐標，運用點到直線的距離公式可得到直線的距離，由弦長公式可得，由三角形的面積公式和導數(shù)的運用，判斷單調性可得面積的范圍，檢驗直線的斜率不存在時，可得的面積，進而得到所求最大值．

解：（1）點為拋物線的焦點，即，即，

拋物線的方程為，準線方程為；

（2）證明：設過的直線方程為，，，，，，，

即有，，，

聯(lián)立直線和拋物線可得，

可得，，

則，

由的重心在軸上，可得，即，

即有，

當直線的斜率不存在時，求得，，的坐標，可得．

則直線與直線的傾斜角互補；

（3）由（2）可得，，

可得，解得，

由拋物線的定義可得，

由，即，即，，

的坐標為，，

到直線的距離為，

可得的面積為，

由，可得，

設，則，

由，則在遞減，

可得；

當直線的斜率不存在時，設，，可得，

的面積為，

可得的面積的最大值為2．