Question

雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝x，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為，其中A(a,0)，B(0，－b)．

(1)求雙曲線的方程；

(2)若B₁是雙曲線虛軸在y軸正半軸上的端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線交雙曲線于點(diǎn)M，N，求當(dāng)時(shí)，直線MN的方程．

Answer 1

解析：(1)設(shè)直線AB的方程為－＝1，由已知條件得解得a＝，b＝3.

∴雙曲線方程為－＝1.

 (2)由(1)知B(0，－3)，B₁(0,3)．設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，直線l：y＝kx－3.

由消去y，整理得(3－k²)·x²＋6kx－18＝0，

∴x₁＋x₂＝，y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－6＝，

x₁x₂＝，y₁y₂＝k²x₁x₂－3k(x₁＋x₂)＋9＝9.

∵＝(x₁，y₁－3)，＝(x₂，y₂－3)，·＝0，

∴x₁x₂＋y₁y₂－3(y₁＋y₂)＋9＝0，

即＋9－＋9＝0，解得k²＝5，∴k＝±，

代入y＝kx－3中，得y＝±x－3為所求方程．