Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處的切線與直線垂直，求的極值；

（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的下方.

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②求證:對(duì)任意正整數(shù)，都有.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無(wú)極小值； （2）①；②見(jiàn)解析 .

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)根據(jù)在處的切線與直線垂直，求得m，確定函數(shù)再求極值.

（2）①根據(jù)函數(shù)的圖象恒在直線的下方，則有 ，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，令求其最大值即可.

（1）由

可得，

所以，即.

則，，

令可得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

的極大值為，無(wú)極小值.

（2）①由條件可知：只需，即在上恒成立.

即，而，，恒成立.

令，則，

令可得.

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故的最大值為，，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

②由①可知，時(shí)，，即對(duì)任意的恒成立.

令，則，，

即，

.