Question

1．己知函數(shù)f（x）=ae^x+x²，g（x）=sin$\frac{πx}{2}$+bx，直線l與曲線y=f（x）切于點（0，f（0））且與曲線y=g（x）切于點（1，g（1））．
（I）求a，b的值和直線l的方程．
（Ⅱ）證明：f（x）＞g（x）

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出f（x）、g（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切線方程，再由切線唯一，即可求得a，b和切線方程；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）-（x+1）=e^x+x²-x-1，運用導數(shù)，求得最小值大于0，再設G（x）=x+1-g（x），由正弦函數(shù)的值域可得G（x）≥0，即可得到f（x）＞g（x），即可得證．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ae^x+2x，g′（x）=$\frac{π}{2}$cos$\frac{πx}{2}$+b，
即有f（0）=a，f′（0）=a，g（1）=1+b，g′（1）=b，
曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線為y=ax+a，
曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線為y=b（x-1）+1+b，
即y=bx+1．
依題意，有a=b=1，直線l方程為y=x+1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）=e^x+x²，g（x）=sin$\frac{πx}{2}$+x．
設F（x）=f（x）-（x+1）=e^x+x²-x-1，則F′（x）=e^x+2x-1，
當x∈（-∞，0）時，F(xiàn)′（x）＜F′（0）=0；
當x∈（0，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞F′（0）=0．
F（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
故F（x）≥F（0）=0．
設G（x）=x+1-g（x）=1-sin$\frac{πx}{2}$，
則G（x）≥0，當且僅當x=4k+1（k∈Z）時等號成立．
由上可知，f（x）≥x+1≥g（x），且兩個等號不同時成立，
因此f（x）＞g（x）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題和易錯題．