Question

【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)過三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，過的直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，直線與圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于4，求當(dāng)取得最小值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由拋物線方程知，知圓心Q在線段OF的中垂線上，點(diǎn)Q到 準(zhǔn)線的距離為，則可求出的值，進(jìn)而求得拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意設(shè)出直線方程，分別在拋物線和圓Q中求出弦長和，將表示成關(guān)于k的函數(shù)，且由點(diǎn)E的橫坐標(biāo)大于4可得出k的取值范圍，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，求出其取得最小值時k的值，進(jìn)而求出直線l的方程.

解：（1）由題意可知，

過三點(diǎn)的圓的圓心應(yīng)在線段OF的中垂線上，

又因?yàn)辄c(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離為，

解得，

故所求拋物線的方程為：；

（2）過的直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)

直線l的斜率存在，設(shè)l為：

由得，

設(shè)，

由韋達(dá)定理得

故焦點(diǎn)弦

圓過點(diǎn)，及點(diǎn)，

可求得圓Q的方程為

由

得，

， ，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于4，

，解得

則

設(shè)

令，得或，

又 在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

故

即當(dāng)時，取得最小值，

故所求直線l的方程為：.