Question

4．定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時f（x）＞1且對任意的a，b∈R，f（a+b）=f（a）f（b）．
（1）證明：f（0）=1；
（2）證明：對任意x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）證明：f（x）在R上單調(diào)遞增；
（4）若f（x）•f（2x-3）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，從而求f（0）；
（2）不妨設(shè)a＞0，b=-a＜0，從而證明；
（3）由（2）知，f（-a）=$\frac{1}{f（a）}$，任取x＜y，則f（y-x）=f（y）f（-x）=f（y）$\frac{1}{f（x）}$，從而證明；
（4）化簡f（x）•f（2x-3）＞1為f（x（2x-3））＞f（0），從而利用單調(diào)性求解．

解答 解：（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f（0）f（0），
又∵f（0）≠0，∴f（0）=1；
（2）證明：不妨設(shè)a＞0，b=-a＜0，
則f（0）=f（a）f（b），
即f（b）=$\frac{1}{f（a）}$＞0；
故對任意x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）證明：由（2）知，f（-a）=$\frac{1}{f（a）}$，
任取x＜y，則
f（y-x）=f（y）f（-x）=f（y）$\frac{1}{f（x）}$，
∵y-x＞0，∴f（y-x）＞1，
∴f（y）$\frac{1}{f（x）}$＞1，
∴f（y）＞f（x），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（4）∵f（x）•f（2x-3）＞1，
∴f（x（2x-3））＞f（0），
又∵f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴x（2x-3）＞0，
∴x＞$\frac{3}{2}$或x＜0．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的單調(diào)性在解不等式中的應(yīng)用．