Question

19．設(shè)S為實數(shù)集R的非空子集，若對任意x，y∈S，都有x+y∈S，xy∈S，則稱S為閉集合，已知集合A={x|x=a+$\sqrt{2}$b，a、b∈N}．
（1）證明：集合A為閉集合；
（2）若集合B={x|x=$\sqrt{2}$x₁，x₁∈A}，證明：B?A．

Answer 1

分析 （1）?x，y∈A，x=a+$\sqrt{2}$b，y=c+$\sqrt{2}$d，a，b，c，d∈N，可得a+c，b+d∈N，ac+2bd，bc+ad∈N，可得x+y，xy∈A．即可證明．
（2）?x∈B，x=$\sqrt{2}$x₁，x₁∈A，設(shè)x₁=a+$\sqrt{2}$b，a，b∈N．可得x∈A．因此B⊆A．取y=1+$\sqrt{2}$∈A，可得y∉B，即可證明B?A．

解答 證明：（1）?x，y∈A，x=a+$\sqrt{2}$b，y=c+$\sqrt{2}$d，a，b，c，d∈N，
則a+c，b+d∈N，ac+2bd，bc+ad∈N，
∴x+y=（a+c）+$\sqrt{2}$（b+d）∈A，xy=（a+$\sqrt{2}$b）（c+$\sqrt{2}$d）=ac+2bd+$\sqrt{2}$（bc+ad）∈A．
∴集合A為閉集合．
（2）?x∈B，x=$\sqrt{2}$x₁，x₁∈A，設(shè)x₁=a+$\sqrt{2}$b，a，b∈N．則x=$\sqrt{2}$$（a+\sqrt{2}b）$=2b+$\sqrt{2}$a∈A．
∴B⊆A．
取y=1+$\sqrt{2}$∈A，假設(shè)1+$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$$（c+\sqrt{2}d）$=2d+$\sqrt{2}$c，則$\left\{\begin{array}{l}{2d=1}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得c=1，d=$\frac{1}{2}$∉N，
∴1+$\sqrt{2}$∉B，
因此B?A．

點評 本題考查了集合的運算及其性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系、新定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．