Question

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)A(-2, 0), B(2,0)連線(xiàn)的斜率之積等于，若點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E，過(guò)點(diǎn) 直線(xiàn) 交曲線(xiàn)E于M，N兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求曲線(xiàn)E的方程，并證明：MAN是一定值；

（Ⅱ）若四邊形AMBN的面積為S，求S的最大值

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）16

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出AP，BP的斜率，根據(jù)條件直線(xiàn)AP、BP斜率之積為列出關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，化簡(jiǎn)即得曲線(xiàn)E方程，設(shè)出M、N點(diǎn)坐標(biāo)及直線(xiàn)方程，將直線(xiàn)方程代入曲線(xiàn)E的方程化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系及設(shè)而不求思想，利用向量法求出與的夾角，即證明了MAN是一定值；（Ⅱ）利用設(shè)而不求思想，將四邊形ANBN的面積用參數(shù)表示出來(lái)，再利用函數(shù)求最值的方法，求出其面積的最大值．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，由條件得：

，化簡(jiǎn)得

曲線(xiàn)E的方程為，, 4分

（說(shuō)明：不寫(xiě)的扣1分）

由題可設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立方程組可得

,化簡(jiǎn)得：

設(shè),則， （6分）

又,則

,

所以,所以的大小為定值 （8分）

(Ⅱ)

令設(shè)

在上單調(diào)遞減．

由，得K=0，此時(shí)有最大值16 （12分）

考點(diǎn)：求曲線(xiàn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置，與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題和定制問(wèn)題，推理論證能力，運(yùn)算求解能力