【題目】設(shè)函數(shù)
.
（1）證明：
，都有
；
（2）若函數(shù)
有且只有一個零點，求的極值.
【答案】（1）見解析；（2）
時，
的極大值為e1，極小值為0．
【解析】
（1）令
，求導(dǎo)得
，利用導(dǎo)數(shù)判斷出
的單調(diào)性，
從而求出的最大值，最大值小于0，則命題得證；
（2）由
得
，兩邊同時取對數(shù)整理得
，則的零點
個數(shù)等于
解的個數(shù)，令
，求導(dǎo)，求出
，得出
，令
，求導(dǎo)，借助
的單調(diào)性得
出
的符號，從而求出極值.
（1）證明：令，則
，
所以在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
所以的最大值為
，即
，
所以
，都有
．
（2）解：由得，則
，所以，
所以的零點個數(shù)等于方程解的個數(shù)，
令，則
，且
，
所以
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，又因為
，
且由（1）知，
，則當(dāng)
時，
，
所以
時，
有且只有一個解，
所以若函數(shù)有且只有一個零點，則，此時，
∴
，
令，則
，
所以在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
，
所以當(dāng)
時，
，當(dāng)
時，
，當(dāng)
時，，
∴當(dāng)時，
，則
，則
，
同理可得：當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，；
所以
和
分別是函數(shù)的極大值點和極小值點．
所以時，的極大值為e1，極小值為0．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】請解答以下問題，要求解決兩個問題的方法不同.
（1）如圖1，要在一個半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形
，如何截取？并求出這個最大矩形的面積.
（2）如圖2，要在一個長半軸為2米，短半軸為1米的半個橢圓鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截��？并求出這個最大矩形的面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
+y2＝1，不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．
（1）若線段MN的中點坐標(biāo)為 （1，
），求直線l的方程；
（2）若直線l過點P（p，0），點Q（q，0）滿足kQM+kQN＝0，求pq的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，每個側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點，E為側(cè)棱
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求證：
平面；
（3）若
，求三棱錐
的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝6sinθ，建立以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸的平面直角坐標(biāo)系．直線l的參數(shù)方程是
，(t為參數(shù))．
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|=
，求直線的斜率k．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知動點
到定點
的距離比
到定直線
的距離小1.
（Ⅰ）求點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
任意作互相垂直的兩條直線
，分別交曲線
于點
和
.設(shè)線段
， 
的中點分別為
，求證：直線
恒過一個定點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求
面積的最小值.
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