Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）令只需在使即可，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，從而確定的范圍即可．

解：（1）由題意可知， ，

當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令，解得，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令，解得，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，時，單調(diào)遞減，

時單調(diào)遞增；

當(dāng)時，時，單調(diào)遞減，

時單調(diào)遞增．

（2）由，

可得，，

令，

只需在使即可，

，

①當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

只需，

解得，所以；

②當(dāng)時，在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

則，解得，

③當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，

而成立，

④當(dāng)時，在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

則，解得．

綜上，的取值范圍為.