Question

已知，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為。
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)函數(shù)，其中。
求證：當(dāng)時(shí)，。

Answer 1

（1）；（2）見解析；

解析試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在處的切線斜率為0及聯(lián)立方程解得；（2）將代入得的解析式，解析式中含有參數(shù)，所以對進(jìn)行分類討論，再利用求導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)性，求出在的最小值和最大值即可；
試題解析：解：（1），               2分
依題意，且。            3分
所以。
解得。                     4分
（2）由（1）得。
所以。
。                  6分
當(dāng)時(shí)，由得，由得。
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，是的極小值點(diǎn)。8分
當(dāng)，時(shí)，，
所以的最小值為，最大值為。      9分
設(shè)，則，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/88/d2/88ed207e1e029e510a44de88527fc6bf.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。
所以在上單調(diào)遞減，
所以，。         11分
所以，當(dāng)，時(shí)，。
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/88/d2/88ed207e1e029e510a44de88527fc6bf.png" style="vertical-align:middle;" />，，               12分
。                        13分
所以當(dāng)時(shí)，